Progettazione di uno Schiefspiegler

Lo Schiefspiegler è nato dall’ idea di piegare un telescopio di tipo Cassegrain. E’ dunque necessario definire alcune grandezze relative a questo strumento e che verranno poi impiegate nel calcolo vero e proprio. A fianco di queste grandezze, e delle formule che verranno impiegate, sono indicati fra parentesi i valori relativi allo strumento oggetto di questo articolo con l’ avvertenza che quando compare il simbolo * i valori ottenuti dalle formule sono stati poi moltiplicati per 206265 per avere il risultato in secondi d’ arco. Va inoltre chiarito che i valori numerici andranno impiegati nelle formule con il segno, positivo o negativo, che loro compete.

Nello schema sopra (figura 12) vi è lo schema ottico di un telescopio Cassegrain; è questa la configurazione di partenza nella progettazione dello Schiefspiegler che è essenzialmente un Cassegrain “piegato”. Il significato delle lettere è .

  • D = diametro dello specchio principale (200 mm)
  • y1 = semi-diametro dello specchio principale (100 mm)
  • r1 = raggio di curvatura dello specchio principale (4840 mm)
  • f1= lunghezza focale dello specchio principale (2420 mm)
  • y2 = semi-diametro dello specchio secondario
  • d = diametro dello specchio secondario
  • d = diametro dello specchio secondario
  • r2 = raggio di curvatura dello specchio secondario
  • f2= lunghezza focale dello specchio secondario
  • e = distanza tra i vertici degli specchi
  • p = distanza tra il vertice dello specchio secondario e il fuoco dello specchio principale
  • p’ = distanza tra il vertice dello specchio secondario e il fuoco del sistema
  • b = distanza tra il vertice dello specchio principale e il fuoco del sistema (370 mm)
  • F = focale equivalente del sistema

Scelto il diametro D, si assumerà per esso un rapporto d’ apertura compreso fra 12 e 15. Si dovrà poi decidere quale sarà la lunghezza focale del sistema ( in genere tra 1,5 e 1,8 volte la focale del primario) e si imporrà un valore positivo alla quota b , da uno a 2 volte il diametro dello specchio principale ( Kutter consiglia il valore b = 0,165 f1).
Si potranno allora calcolare

Queste 5 relazioni si possono tutte ricavare dalla figura 12 applicando le proprietà dei triangoli simili e l’ espressione che fornisce la focale risultante di due specchi posti alla distanza e . d è il diametro del secondario per un fascio di raggi paralleli ed è il valore che verrà impiegato nei calcoli. Se si vuole avere un campo visivo di b primi d’ arco (22′) si dovrà impiegare uno specchio di diametro deff dato dalla:

Sono così determinate le caratteristiche del sistema Cassegrain.
L’ aberrazione sferica totale, per esso, vale:

ma di questa si considera dannoso un valore uguale solo ad un quarto di quello totale, che dovrà essere confrontato con il raggio del disco di diffrazione di Airy ed essere minore di questo: dovrà cioè essere, per lambda = 516 µm,

Si tratta ora di passare dal Cassegrain allo Schiefspiegler. E’ stato già calcolato il diametro dello specchio secondario: si può perciò scegliere il tubo in cui andrà posto che, per ragioni costruttive e geometriche, dovrà avere un diametro interno di almeno un centimetro più grande del diametro del secondario. Indichiamo con y (55 mm) il semi-diametro esterno di questo tubo. La prima distanza principale (figura 2, prima parte), sarà quindi data da

A questo valore teorico conviene però aggiungere 5 mm per evitare di intercettare il tubo porta secondario nelle fasi di regolazione delle ottiche. Si può ora risalire all’ inclinazione con cui i raggi, dallo specchio principale, si dirigono sul secondario

Questa inclinazione del primario produrrà delle aberrazioni di astigmatismo e di coma. Tuttavia, anche il secondario verrà inclinato di un angolo e, essendo uno specchio convesso, introdurrà aberrazioni di segno opposto.
Il valore dell’ astigmatismo complessivo, dato da queste due inclinazioni, è dato dalla seguente relazione:

mentre il coma vale:

Se ora imponiamo all’ astigmatismo di essere nullo, si potrà scrivere, in valore assoluto:

ossia l’ astigmatismo del telescopio sarà nullo per un angolo che varrà:

da dove si ricava il valore di (7,98°) * Per questo valore dell’ angolo il coma residuo, calcolato con la (2), vale 5,12 secondi d’ arco ed è perciò eccessivo anche assumendo che il suo valore dannoso sia un terzo di quello calcolato. D’ altra parte un terzo di di 5,12 secondi d’ arco sono 1,7″ che è più del doppio del raggio del disco di Airy ( 0,687″)*.
Tuttavia, come già detto all’ inizio, nel caso di specchi di piccolo diametro, è possibile ottenere un telescopio in configurazione anastigmatica con un coma residuo il cui valore, ridotto a un terzo, non superi il raggio del disco di diffrazione ottenendo così un’ ottica praticamente esente da astigmatismo, coma, aberrazione sferica e aberrazione cromatica.
Verso la fine degli anni ’50 veniva venduto in Germania un opuscolo di Anton Kutter nel quale si descriveva la costruzione di uno Schiefspiegler di questo tipo e se ne proponeva l’ acquisto delle ottiche e di alcuni particolari in fusione di alluminio. Questo strumento aveva un primario di 1110 mm con focale di 1620 mm e un secondario di 55 mm con focale negativa sempre di 1620 mm. La focale risultante di 2720 mm era ottenuta con una distanza specchi di 965 mm.
Non è casuale che questo strumento presentasse la stessa lunghezza focale in valore assoluto per il primario e per il secondario. A parte la semplificazione della formula che fornisce il valore di , le curvature uguali e di segno opposto fanno sì che, almeno in direzione sagittale, sia perfettamente soddisfatta la condizione di Petzval per il campo piano.
Nel caso di diametri maggiori il calcolo dovrà proseguire imponendo questa volta che sia nullo il coma, ponendo nella (2) b = 0 e trovando così il valore di che soddisfa alla condizione richiesta (12°,1). Il costruttore ha quindi a disposizione due valori dell’ angolo : uno che rende nullo l’ astigmatismo e l’ altro che rende nullo il coma. Diminuendo del 20% circa il valore del seno dell’ angolo che si è trovato rendere nullo il coma, si ottengono dei valori di astigmatismo e coma che sono circa la metà di quelli che si sarebbero ottenuti in un sistema esente da coma o esente da astigmatismo. I valori residui vengono corretti introducendo tra il secondario e l’ oculare la lente correttrice sferica piano convessa con focale consigliata di circa 10-15 volte la focale del primario. Se si indica con x’ (-0,0000626) il valore dell’ astigmatismo corrispondente al nuovo angolo dato dalla
sin ‘ = 0,8 sin , con

la lunghezza, in valore assoluto, del segmento astigmatico e con

la differenza astigmatica fra le focali meridionale e sagittale, questa lente andrà posta ad una distanza a dal vertice del secondario data dalla formula:

L’ inclinazione esatta da dare alla lente andrà ricercata sul campo, come spiegato a proposito della regolazione dello strumento, ma il suo valore si aggirerà sui 25-30 gradi.
La presenza della lente (flente = 24.000 mm) modificherà poi la lunghezza focale del sistema secondo l’ espressione:

Un’ ultima particolarità dello Schiefspiegler è che il piano di messa a fuoco non è perpendicolare all’ asse del tubo porta secondario ma è ruotato rispetto a questo di un angolo di qualche grado il cui valore esatto è fornito dalla relazione:

L’ inclinazione del piano di messa a fuoco avviene lungo un asse perpendicolare al piano meridionale ed è tale che, per una perfetta messa a fuoco, il piano della pellicola risulta ruotato nello stesso verso della lente correttrice

Questo telescopio ha, in definitiva, delle caratteristiche molto interessanti; oltre a fornire immagini paragonabili per qualità a quelle di un rifrattore, si presta all’ autocostruzione, sia pure limitatamente a piccoli diametri dello specchio (per non dover ricorrere alla lente correttrice) ma, soprattutto, è uno strumento sul quale, fino all’ ultimo, l’ astrofilo costruttore può intervenire per aggiustare le cose in modo da ottenere immagini eccellenti.

Ho costruito anche un piccolo Schiefspiegler (figura 14) con specchio da 125 mm e focale complessiva di 3180 mm , senza lente correttrice, con risultati lusinghieri. In figura 13 è mostrato lo spot diagram relativo a questo strumento. Il diametro del cerchio centrale corrisponde al disco di Airy : il 90%. dei raggi, al centro, cade al suo interno mentre ai bordi di un campo di 9′ (diametro di campo coperto 8,3 mm che contiene interamente un sensore da 7 x 4,7 mm) questo valore si riduce all’ 85%.

Ai bordi di un campo di 30′ il 75% dei raggi cade ancora all’ interno del disco di Airy.

 

Vale la pena concludere con quanto affermato dallo stesso Kutter: “…variando le inclinazioni degli specchi e del correttore, ogni scostamento (anche considerevole) dai parametri teorici dello Schiefspiegler può essere facilmente compensato ed il sistema permette di raggiungere una perfetta definizione. L’ autore (…) ha lavorato per venticinque anni per trarre dal telescopio riflettore la sua definizione teorica, con mezzi accessibili agli astrofili: ha eseguito, in centinaia di notti, osservazioni visuali e fotografie con Schiefspiegler dei diversi sistemi e dimensioni, da 50 mm a 3000 mm. Le ottime fotografie della Luna ottenute con uno strumento da 300 mm (…) ne sono la dimostrazione”.
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